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En el presente trabajo estudiamos la ecuación diofantina mn = nm con m ? n, probando que las únicas soluciones enteras de esta ecuación son (2, 4) y (4, 2). Posteriormente determinamos la forma de todas las soluciones racionales de la ecuación xy = yx con x ?y, y probamos que estas soluciones son únicas. También presentamos los intervalos donde se encuentran las soluciones racionales positivos de la ecuación xy = yx.